微分積分学準備例

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{3}$ を方程式で書きます。

$y = 8 x^{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 8 y^{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $8 y^{3} = x$ として書き換えます。

$8 y^{3} = x$

ステップ 3.2

$8 y^{3} = x$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$8 y^{3} = x$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{x}{8}$ を ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.1.1

$x$ から完全累乗 $1^{3}$ を因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

ステップ 3.4.1.2

$8$ から完全累乗 $2^{3}$ を因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.1.3

分数 $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

ステップ 3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

ステップ 3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt[3]{x}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ が $f (x) = 8 x^{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (8 x^{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

ステップ 5.3.3

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

ステップ 5.3.5

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.6

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ は $f (x) = 8 x^{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

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