微分積分学準備例

$\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 1

式 $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.2.2

関数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 2.1.1.2.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.2.2.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.2.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.3.2

関数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $8$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 2.1.1.3.2.1

定数の倍数 $8$ を削除した極限を考えます。

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.2

総和則では、 $7 + 3 e^{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.5

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.4.7

$3$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.5

$0$ と $9 e^{3 x}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.6

総和則では、 $4 - 8 e^{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.8.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 e^{3 x}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

ステップ 2.1.3.8.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 2.1.3.8.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 2.1.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 2.1.3.8.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

ステップ 2.1.3.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

ステップ 2.1.3.8.5

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

ステップ 2.1.3.8.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

ステップ 2.1.3.8.7

$3$ に $- 8$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ から $24 e^{3 x}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.4

約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$9$ と $- 24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1.1

$3$ を $9 e^{3 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1.2.1

$3$ を $- 24 e^{3 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

ステップ 2.1.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

ステップ 2.1.4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.4.2

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

ステップ 2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

ステップ 2.2

極限を求めます。

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ステップ 2.2.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{3}{- 8}$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{- 8}$

ステップ 2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{8}$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.2

指数 $3 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.3.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

ステップ 3.3.3

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

ステップ 3.4

指数 $3 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

ステップ 3.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

ステップ 3.5.1.2

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

ステップ 3.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 8$ に $0$ をかけます。

$\frac{7}{4 + 0}$

ステップ 3.5.2.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7}{4}$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

水平漸近線： $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例