微分積分学準備例

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.4

括弧を削除します。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.5

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 ((x + h) (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x (x + h) + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.7.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.7.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.7.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.7.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.8

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.9

$2$ に $24$ をかけます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 (h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

ステップ 2.1.2.1.10

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$ です。

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

ステップ 2.2.3

$- 179 x$ を移動させます。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.2.4

$24 x^{2}$ を移動させます。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 48 h x + 24 h^{2} + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.2.5

$48 h x$ を移動させます。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.2.6

$- x^{3}$ を移動させます。

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.2.7

$- 3 h x^{2}$ を移動させます。

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.2.8

$- 3 h^{2} x$ と $- h^{3}$ を並べ替えます。

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - (- x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - - x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- - x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 1 x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

ステップ 4.1.2.1.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$24$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

ステップ 4.1.2.3

$- 179$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 1 \cdot 495}{h}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $495$ をかけます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

ステップ 4.1.3

$- x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 0 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

ステップ 4.1.4

$- h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

ステップ 4.1.5

$24 x^{2}$ から $24 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 0 + 179 x - 495}{h}$

ステップ 4.1.6

$- h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 179 x - 495}{h}$

ステップ 4.1.7

$- 179 x$ と $179 x$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0 + 495 - 495}{h}$

ステップ 4.1.8

$- h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 495 - 495}{h}$

ステップ 4.1.9

$495$ から $495$ を引きます。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.10

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11

$h$ を $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$h$ を $- h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11.2

$h$ を $- 3 h^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11.3

$h$ を $- 3 h x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11.4

$h$ を $24 h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + 48 h x - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11.5

$h$ を $48 h x$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) - 179 h}{h}$

ステップ 4.1.11.6

$h$ を $- 179 h$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

ステップ 4.1.11.7

$h$ を $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

ステップ 4.1.11.8

$h$ を $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

ステップ 4.1.11.9

$h$ を $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h)$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

ステップ 4.1.11.10

$h$ を $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x)$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179}{h}$

ステップ 4.1.11.11

$h$ を $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179$ で因数分解します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$ を $1$ で割ります。

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$h$ を移動させます。

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

ステップ 4.2.2.2

$24 h$ を移動させます。

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 48 x + 24 h - 179$

ステップ 4.2.2.3

$- h^{2}$ を移動させます。

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

ステップ 4.2.2.4

$- 3 x h$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例