微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x + 2$ $g (x) = x^{2} - 5 x + 10$ Find: $g (f (x))$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (- 2 x + 2)$ の値を求めます。

$g (- 2 x + 2) = {(- 2 x + 2)}^{2} - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(- 2 x + 2)}^{2}$ を $(- 2 x + 2) (- 2 x + 2)$ に書き換えます。

$g (- 2 x + 2) = (- 2 x + 2) (- 2 x + 2) - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 2) (- 2 x + 2)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 x (- 2 x + 2) + 2 (- 2 x + 2) - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x + 2) - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = - 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 4 x + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 2 \cdot 2 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 - 5 (- 2 x + 2) + 10$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot 2 + 10$

ステップ 3.5

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x - 5 \cdot 2 + 10$

ステップ 3.6

$- 5$ に $2$ をかけます。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x - 10 + 10$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x - 10 + 10$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.1

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x + 0$

ステップ 4.1.2

$4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x$ と $0$ をたし算します。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} - 8 x + 4 + 10 x$

ステップ 4.2

$- 8 x$ と $10 x$ をたし算します。

$g (- 2 x + 2) = 4 x^{2} + 2 x + 4$

微分積分学準備 例

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