微分積分学準備例

$y = \frac{x^{2} + 2}{x^{3} - x}$

ステップ 1

$\frac{x^{2} + 2}{x^{3} - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} - x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3} - x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.3

因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $x (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0, 1, - 1}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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