微分積分学準備例

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ を方程式で書きます。

$y = 10 \sqrt[4]{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 10 \sqrt[4]{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $10 \sqrt[4]{y} = x$ として書き換えます。

$10 \sqrt[4]{y} = x$

ステップ 3.2

$10 \sqrt[4]{y} = x$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$10 \sqrt[4]{y} = x$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sqrt[4]{y}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt[4]{y} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{y}$ を $y^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x}{10})}^{4}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

${(\frac{x}{10})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{10}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{4}}{10^{4}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$10$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{10000}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ が $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{{(10 \sqrt[4]{x})}^{4}}{10000}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

積の法則を $10 \sqrt[4]{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10^{4} {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

ステップ 5.2.3.2

$10$ を $4$ 乗します。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt[4]{x}}^{4}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{10000}$

ステップ 5.2.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{10000}$

ステップ 5.2.3.3.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

ステップ 5.2.3.3.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

ステップ 5.2.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

ステップ 5.2.4

$10000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{4}}{10000})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

ステップ 5.3.4

$10000$ を $10^{4}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10^{4}}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{x^{4}}{10^{4}}$ を ${(\frac{x}{10})}^{4}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{{(\frac{x}{10})}^{4}}$

ステップ 5.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

ステップ 5.3.7

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ は $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

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