微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x - 5$ $g (x) = x^{2} + 6 x + 2$ Find: $((g \circ f)) (x)$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (- 2 x - 5)$ の値を求めます。

$g (- 2 x - 5) = {(- 2 x - 5)}^{2} + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(- 2 x - 5)}^{2}$ を $(- 2 x - 5) (- 2 x - 5)$ に書き換えます。

$g (- 2 x - 5) = (- 2 x - 5) (- 2 x - 5) + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 5) (- 2 x - 5)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 x (- 2 x - 5) - 5 (- 2 x - 5) + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x - 5) + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = - 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 5 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 10 x - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.5

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 10 x + 10 x - 5 \cdot - 5 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.3.2

$10 x$ と $10 x$ をたし算します。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 20 x + 25 + 6 (- 2 x - 5) + 2$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 20 x + 25 + 6 (- 2 x) + 6 \cdot - 5 + 2$

ステップ 3.5

$- 2$ に $6$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 20 x + 25 - 12 x + 6 \cdot - 5 + 2$

ステップ 3.6

$6$ に $- 5$ をかけます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 20 x + 25 - 12 x - 30 + 2$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$20 x$ から $12 x$ を引きます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 8 x + 25 - 30 + 2$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$25$ から $30$ を引きます。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 8 x - 5 + 2$

ステップ 4.2.2

$- 5$ と $2$ をたし算します。

$g (- 2 x - 5) = 4 x^{2} + 8 x - 3$

微分積分学準備 例

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