微分積分学準備例

$120 + 40 + \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + \dots$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

$S_{n}$ の級数の和は $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ の公式を利用して求めます。無限等比級数 $S_{\infty}$ の和は、 $n$ が $\infty$ に近づくと、 $1 - r^{n}$ は $1$ に近づきます。したがって、 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ は $\frac{a}{1 - r}$ に近づきます。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

ステップ 3

$a = 120$ と $r = \frac{1}{3}$ の値は $S_{\infty}$ の方程式に入れることができます。

$S_{\infty} = \frac{120}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 4

方程式を簡約し、 $S_{\infty}$ を求めます。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 4.1.3

$3$ から $1$ を引きます。

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{\infty} = 120 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $120$ で因数分解します。

$S_{\infty} = 2 (60) (\frac{3}{2})$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$S_{\infty} = 2 \cdot (60 (\frac{3}{2}))$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$S_{\infty} = 60 \cdot 3$

ステップ 4.4

$60$ に $3$ をかけます。

$S_{\infty} = 180$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例