微分積分学準備例

$f (x) = x^{7} + 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{7} + 2$ を方程式で書きます。

$y = x^{7} + 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{7} + 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{7} + 2 = x$ として書き換えます。

$y^{7} + 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y^{7} = x - 2$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[7]{x - 2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$ が $f (x) = x^{7} + 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{7} + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{(x^{7} + 2) - 2}$

ステップ 5.2.3

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

ステップ 5.2.4

$x^{7}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{x^{7}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[7]{x - 2})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(\sqrt[7]{x - 2})}^{7} + 2$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[7]{x - 2}}^{7}$ を $x - 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 2$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 2$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{7}{7}} + 2$

ステップ 5.3.3.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{7}{7}} + 2$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x - 2 + 2$

ステップ 5.3.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$ は $f (x) = x^{7} + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$

微分積分学準備 例

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