微分積分学準備例

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 3

決定成分を求めます。

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ステップ 3.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

最終的な答えは $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ です。

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 3.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 5.1.2

$\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ を ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

ステップ 5.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{x + h}$ であり、 $b = \frac{1}{x}$ です。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5

簡約します。

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ステップ 5.1.5.1

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.2

$\frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1.5.3.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.3.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.5

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.6

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 5.1.5.7

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 5.1.5.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1.5.8.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 5.1.5.8.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 5.1.5.8.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 5.1.5.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.5.10

因数分解した形で $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1.5.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.5.10.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.5.10.3

$0$ から $h$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.7

指数をまとめます。

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ステップ 5.1.7.1

負をくくり出します。

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 5.1.7.2

$\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ に $\frac{h}{x (x + h)}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

ステップ 5.1.7.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.7.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.7.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 5.1.7.7

$x + h$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

ステップ 5.1.7.8

$x + h$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

ステップ 5.1.7.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

ステップ 5.1.7.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3.2

$h$ を $- (2 x + h) h$ で因数分解します。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例