微分積分学準備例

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{7}$ を方程式で書きます。

$y = 8 x^{7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 8 y^{7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $8 y^{7} = x$ として書き換えます。

$8 y^{7} = x$

ステップ 3.2

$8 y^{7} = x$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$8 y^{7} = x$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{7}$ を $1$ で割ります。

$y^{7} = \frac{x}{8}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ を $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ が $f (x) = 8 x^{7}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (8 x^{7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

ステップ 5.2.3

$\sqrt[7]{8 x^{7}}$ と $\sqrt[7]{8}$ を単一根にまとめます。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{8 x^{7}}{8}$ を約分します。

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ステップ 5.2.4.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

ステップ 5.2.4.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

ステップ 5.2.4.2

$x^{7}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

ステップ 5.3.3

積の法則を $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[7]{x}}^{7}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x}$ を $x^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

ステップ 5.3.5

${\sqrt[7]{8}}^{7}$ を $8$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{8}$ を $8^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

ステップ 5.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

ステップ 5.3.5.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

ステップ 5.3.5.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

ステップ 5.3.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.6

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ は $f (x) = 8 x^{7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

微分積分学準備 例

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