微分積分学準備例

$f (x) = \frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

ステップ 1

式 $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 3, x = 5$

ステップ 2

$\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $5$ 、 $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $5$ としているので、 $x = 5$ は垂直漸近線です。

$x = 5$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 6.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{(x - 5) (x - 3)}$

ステップ 6.2

$(x - 5) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x (x - 3) - 5 (x - 3)}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 (x - 3)}$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.4

$x$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{1 + 1} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

ステップ 6.2.9

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x + 15}$

ステップ 6.2.10

$- 3 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 8 x + 15}$

ステップ 6.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

ステップ 6.4

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

ステップ 6.5

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

ステップ 6.6

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

ステップ 6.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

ステップ 6.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

						$x$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

ステップ 6.9

被除数 $13 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

ステップ 6.10

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$13$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

$21$

$13 x^{2}$

$104 x$

$195$

ステップ 6.11

式は被除数から引く必要があるので、 $13 x^{2} - 104 x + 195$ の符号をすべて変更します。

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$

ステップ 6.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$
									+	$72 x$	-	$216$

ステップ 6.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + 13 + \frac{72 x - 216}{x^{2} - 8 x + 15}$

ステップ 6.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x + 13$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 5$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x + 13$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例