微分積分学準備例

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$

ステップ 1

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y^{2} - 1 = 0$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{2} = 1$

ステップ 2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm 1$

ステップ 2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 1$

ステップ 2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 1$

ステップ 2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 1, - 1$

ステップ 3

$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y^{2} + 5 y + 4 = 0$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

たすき掛けを利用して $y^{2} + 5 y + 4$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y + 1) (y + 4) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y + 1 = 0$

$y + 4 = 0$

ステップ 4.3

$y + 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$y + 1$ が $0$ に等しいとします。

$y + 1 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 4.4

$y + 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$y + 4$ が $0$ に等しいとします。

$y + 4 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y = - 4$

ステップ 4.5

最終解は $(y + 1) (y + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = - 1, - 4$

ステップ 5

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4} = 0$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$y^{2} - 9 = 0$

ステップ 6.2

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$y^{2} = 9$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{9}$

ステップ 6.2.3

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 6.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 3$

ステップ 6.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 3$

ステップ 6.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 3$

ステップ 6.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 3, - 3$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 1, - 1, 3, - 3, - 4}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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