微分積分学準備例

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 2$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 2, 1)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 9}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{13}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 3)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, - 1)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(- 2, 3), (- 2, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 1 + \sqrt{13})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 1 - \sqrt{13})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

ステップ 8.3.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

ステップ 11.2

$\frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{2}{3} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 1$

ステップ 11.2.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 1$

ステップ 11.2.2

式を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 11.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3}{3}$

ステップ 11.2.2.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

ステップ 12.2

$- \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2.1.4

$- \frac{2}{3} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 (\frac{2}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.4.2

$- 2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} + 1$

ステップ 12.2.1.4.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

ステップ 12.2.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.5.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

ステップ 12.2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

ステップ 12.2.2

式を簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 12.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

ステップ 12.2.2.3

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 12.2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 2, 1)$

頂点： $(- 2, 3), (- 2, - 1)$

焦点： $(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

偏心： $\frac{\sqrt{13}}{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

漸近線： $y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$ 、 $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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