微分積分学準備例

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$

ステップ 1

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y^{2} - 10 y + 25 = 0$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} - 10 y + 5^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

ステップ 2.1.3

多項式を書き換えます。

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2} = 0$

ステップ 2.1.4

$a = y$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(y - 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

$y - 5$ が $0$ に等しいとします。

$y - 5 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 5$

ステップ 3

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y^{2} - 3 y - 10 = 0$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 3 y - 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y - 5) (y + 2) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 5 = 0$

$y + 2 = 0$

ステップ 4.3

$y - 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$y - 5$ が $0$ に等しいとします。

$y - 5 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 5$

ステップ 4.4

$y + 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$y + 2$ が $0$ に等しいとします。

$y + 2 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = - 2$

ステップ 4.5

最終解は $(y - 5) (y + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 5, - 2$

ステップ 5

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10} = 0$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$3 y - 12 = 0$

ステップ 6.2

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$3 y = 12$

ステップ 6.2.2

$3 y = 12$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3 y = 12$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{12}{3}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$12$ を $3$ で割ります。

$y = 4$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq - 2, 4, 5}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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