微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x - 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{x - 2}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{x - 2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y - 2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{y - 2} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y - 2} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y - 2}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y - 2}$ を ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 2)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$y - 2 = x^{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = x^{2} + 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$ が $f (x) = \sqrt{x - 2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{x - 2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(\sqrt{x - 2})}^{2} + 2$

ステップ 5.2.3

${\sqrt{x - 2}}^{2}$ を $x - 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2$

ステップ 5.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 2$

ステップ 5.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 2$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = (x - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x - 2 + 2$

ステップ 5.2.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} + 2)$ の値を求めます。

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{(x^{2} + 2) - 2}$

ステップ 5.3.3

$2$ から $2$ を引きます。

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 5.3.4

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} + 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$ は $f (x) = \sqrt{x - 2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例