微分積分学準備例

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

ステップ 1

$\log_{4} (x^{2} - x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - x > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - x = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$x (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} - (- 2) > 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

${(0.5)}^{2} - (0.5) > 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} - (4) > 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < 0, x > 1}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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