微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$

ステップ 1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2

$\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- \sqrt{x} \geq - 2$

ステップ 3.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $- x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.5

簡約します。

$x \geq {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x \geq 4$

ステップ 3.4

$2 - \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 3.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 3.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

ステップ 3.6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.6.2

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.2.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 3.6.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

ステップ 3.6.2.3

左辺 $0.58578643$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.6.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 3.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

ステップ 3.6.3.3

左辺 $- 0.44948974$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 3.7

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 4$

ステップ 4

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 - \sqrt{x}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ を ${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 - \sqrt{x})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約します。

$2 - \sqrt{x} = 0^{2}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 - \sqrt{x} = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- \sqrt{x} = - 2$

ステップ 5.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

積の法則を $- x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.1.5

簡約します。

$x = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = 4$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, 4)$

集合の内包的記法：

${x | 0 \leq x < 4}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例