微分積分学準備例

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x} - \frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$

ステップ 1

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 3

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

ステップ 4.1.1.2

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 8 x = 0$

ステップ 4.1.1.3

$x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 8 = 0$

ステップ 4.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8 = 0$

ステップ 4.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

ステップ 4.1.2

因数分解。

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ステップ 4.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 4.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 2) (x + 4)) = 0$

ステップ 4.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 2) (x + 4) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4.6

最終解は $x (x - 2) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 4$

ステップ 5

$\frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 6.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq - 1, x \neq 0, 1, 2}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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