微分積分学準備例

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

ステップ 1

$\frac{a + b}{b}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$b = 0$

ステップ 2

$\frac{a}{a + b}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$a + b = 0$

ステップ 3

方程式の両辺から $b$ を引きます。

$a = - b$

ステップ 4

$\frac{a + b}{a}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$a = 0$

ステップ 5

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

ステップ 6

$a$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$a, a + b, 1$

ステップ 6.1.2

$a, a + b, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには4段階あります。数値部、変数部、および複合変数部の最小公倍数を求めます。次に、最小公倍数をすべて掛けます。

$a, a + b, 1$ の最小公倍数を求めるステップ：

1. 数値部分 $1, 1, 1$ の最小公倍数を求めます。

2. 変数部分 $a^{1}$ の最小公倍数を求めます。

3. 複合変数部分 $a + b$ の最小公倍数を求めます。

4. 各最小公倍数をかけます。

ステップ 6.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6.1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 6.1.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 6.1.6

$a^{1}$ の因数は $a$ そのものです。

$a^{1} = a$

$a$ は $1$ 回発生します。

ステップ 6.1.7

$a^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$a$

ステップ 6.1.8

$a + b$ の因数は $a + b$ そのものです。

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 6.1.9

$a + b$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$a + b$

ステップ 6.1.10

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$a (a + b)$

ステップ 6.2

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ の各項に $a (a + b)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ の各項に $a (a + b)$ を掛けます。

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$a$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.2

$a + b$ を $1$ 乗します。

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.3

$a + b$ を $1$ 乗します。

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.6

$a + b$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.6.1

$- \frac{b}{a + b}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.6.2

$a + b$ を $a (a + b)$ で因数分解します。

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.6.3

共通因数を約分します。

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.2.1.6.4

式を書き換えます。

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

分配則を当てはめます。

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

ステップ 6.2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$a$ に $a$ をかけます。

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

ステップ 6.2.3.2.2

$0$ に $a^{2} + a b$ をかけます。

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(a + b)}^{2}$ を $(a + b) (a + b)$ に書き換えます。

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

ステップ 6.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(a + b) (a + b)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

分配則を当てはめます。

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

ステップ 6.3.2.2

分配則を当てはめます。

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

ステップ 6.3.2.3

分配則を当てはめます。

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

ステップ 6.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$a$ に $a$ をかけます。

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

ステップ 6.3.3.1.2

$b$ に $b$ をかけます。

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

ステップ 6.3.3.2

$a b$ と $b a$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$b$ と $a$ を並べ替えます。

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

ステップ 6.3.3.2.2

$a b$ と $a b$ をたし算します。

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

ステップ 6.3.4

$2 a b$ から $b a$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$b$ を移動させます。

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

ステップ 6.3.4.2

$2 a b$ から $a b$ を引きます。

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

ステップ 6.3.5

$a$ に $1$ をかけます。

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

ステップ 6.3.6

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.3.7

$a = 1$ 、 $b = b$ 、および $c = b^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1.1

$b^{2}$ を $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1.1.1

$1$ を掛けます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.1.2

$b^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.1.3

$b^{2}$ を $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.9

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.1.1

$b^{2}$ を $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.1.1.1

$1$ を掛けます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.1.2

$b^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.1.3

$b^{2}$ を $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.9.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.9.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.9.4

$b$ を $- b + b i \sqrt{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.4.1

$b$ を $- b$ で因数分解します。

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.9.4.2

$b$ を $b i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.9.4.3

$b$ を $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.9.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.9.6

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.9.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.9.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.10

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.1.1

$b^{2}$ を $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.1.1.1

$1$ を掛けます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.1.2

$b^{2}$ を $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.1.3

$b^{2}$ を $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ で因数分解します。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.6

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.1.7

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.10.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.4.1

$b$ を $- b - b i \sqrt{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.10.4.1.1

$b$ を $- b$ で因数分解します。

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.3.10.4.1.2

$b$ を $- b i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.10.4.1.3

$b$ を $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.10.4.2

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.10.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.10.6

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.10.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.10.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.11

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $a$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${a | a \neq 0}$

微分積分学準備 例

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