微分積分学準備例

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$\frac{x}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 4.1.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 4.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$\frac{2}{x^{2} - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 6.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 6.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 6.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 6.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 6.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例