微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 3, x = 0$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x$ を $x^{3} + 5 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.1.1.2

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.1.1.3

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 6.1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x ((x + 2) (x + 3))}{3 x^{2} + 9 x}$

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x^{2} + 9 x}$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$3 x$ を $3 x^{2} + 9 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 9 x}$

ステップ 6.1.2.1.2

$3 x$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 3 x (3)}$

ステップ 6.1.2.1.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (3)$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

ステップ 6.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

ステップ 6.1.2.3

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

ステップ 6.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2}{3}$

ステップ 6.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3$

$x$

$2$

ステップ 6.3

被除数 $x$ の最高次項を除数 $3$ の最高次項で割ります。

			$\frac{x}{3}$
	$3$		$x$	+	$2$

ステップ 6.4

新しい商の項に除数を掛けます。

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	+	$x$

ステップ 6.5

式は被除数から引く必要があるので、 $x$ の符号をすべて変更します。

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$

ステップ 6.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$

ステップ 6.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$	+	$2$

ステップ 6.8

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 6.9

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{x}{3}$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{x}{3}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例