微分積分学準備例

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

ステップ 1

式 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ が未定義である場所を求めます。

$- 1 \leq x \leq 0$

ステップ 2

$\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- 1$ 、 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 1$ としているので、 $x = - 1$ は垂直漸近線です。

$x = - 1$

ステップ 3

$\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 1, 0$

ステップ 5

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

ステップ 5.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

ステップ 5.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

ステップ 5.1.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

ステップ 5.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.5.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.5.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 5.8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 5.9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 5.9.1.2

式を書き換えます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 5.9.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 5.9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

ステップ 5.9.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 5.9.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 5.9.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 5.10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 5.11

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

ステップ 5.11.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.1

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 5.11.2.2

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 5.11.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

ステップ 5.11.2.3.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{- 3}{1}$

ステップ 5.11.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$- 3$

ステップ 6

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

ステップ 6.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

ステップ 6.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

ステップ 6.1.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

ステップ 6.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = - \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.3

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.5.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.5.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.7.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

ステップ 6.8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 6.9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 6.9.1.2

式を書き換えます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 6.9.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

ステップ 6.9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

ステップ 6.9.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

ステップ 6.9.4

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

ステップ 6.9.5

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

ステップ 6.10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

ステップ 6.11

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

ステップ 6.11.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.2.1

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 6.11.2.2

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 6.11.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.2.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

ステップ 6.11.2.3.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 6.11.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.11.2.5

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$3$

ステップ 7

水平漸近線のリスト：

$y = - 3, 3$

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 1, 0$

水平漸近線： $y = - 3, 3$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例