微分積分学準備例

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$

ステップ 1

式 $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2

$\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 、 $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ としているので、 $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は垂直漸近線です。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

$\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 、 $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ としているので、 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ は垂直漸近線です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 7

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

ステップ 8.2

被除数 $6 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x^{2}$ の最高次項で割ります。

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{3} + 0 - 2 x$ の符号をすべて変更します。

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

$15 x^{2}$

$3 x$

ステップ 8.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

ステップ 8.7

被除数 $- 15 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x^{2}$ の最高次項で割ります。

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

ステップ 8.8

新しい商の項に除数を掛けます。

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

ステップ 8.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 15 x^{2} + 0 + 5$ の符号をすべて変更します。

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

ステップ 8.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									+	$3 x$	-	$9$

ステップ 8.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$2 x - 5 + \frac{3 x - 9}{3 x^{2} - 1}$

ステップ 8.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = 2 x - 5$

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = 2 x - 5$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例