微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 1

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ の分子の値を求めます。

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ステップ 1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 1}$

ステップ 1.2

$f (x + h) - f (x)$ の関数指示子を実際の関数に置き換えます。

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$

ステップ 1.3

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$ を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $\frac{3}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{3}{x + h - 1} - \frac{3}{x - 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{3}{x + h - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$

ステップ 1.3.3

$- \frac{3}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ を掛けます。

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

ステップ 1.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h - 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.4.1

$\frac{3}{x + h - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

ステップ 1.3.4.2

$\frac{3}{x - 1}$ に $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}$

ステップ 1.3.4.3

$(x - 1) (x + h - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$3$ を $3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.6.1.1

$3$ を $- 3 (x + h - 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.1.2

$3$ を $3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 1 - (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x - 1 - x - h - - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (x - 1 - x - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{3 (0 - 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.5

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{3 (- 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.6

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.7

$- h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.8

指数をまとめます。

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ステップ 1.3.6.8.1

負をくくり出します。

$\frac{- (3 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.6.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 2

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ を書き換えます。

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 3

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.2

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.2.2

$h$ を $- 3 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

微分積分学準備 例

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