微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

ステップ 1

$\sqrt{| x | - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$| x | - x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$| x | - x \geq 0$ を区分で書きます。

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ステップ 2.1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.1.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x - x \geq 0$

ステップ 2.1.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.1.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x - x \geq 0$

ステップ 2.1.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.1.6

$x$ から $x$ を引きます。

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.1.7

$- x$ から $x$ を引きます。

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.2

$x \geq 0$ のとき、 $0 \geq 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

常に真

ステップ 2.2.2

交点を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.3

$x < 0$ のとき、 $- 2 x \geq 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 2 x \geq 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$- 2 x \geq 0$ の各項を $- 2$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$x \leq 0$

ステップ 2.3.2

$x \leq 0$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.4

解の和集合を求めます。

すべての実数

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{| x | - x} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{| x | - x}$ を ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$| x | - x = 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| x | - x = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺に $x$ を足します。

$| x | = x$

ステップ 4.4

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm x$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = x$

ステップ 4.5.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x - x = 0$

ステップ 4.5.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 4.5.3

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

常に真

ステップ 4.5.4

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - x$

ステップ 4.5.5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.5.5.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x + x = 0$

ステップ 4.5.5.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x = 0$

ステップ 4.5.6

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.6.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.5.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 4.5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.6.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4.5.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x =, 0$

ステップ 4.6

各解を $\sqrt{| x | - x} = 0$ に代入して解き、検算します。

$x = 0$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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