微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x - 6}{6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x - 6}{6}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x - 6}{6}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y - 6}{6}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y - 6}{6} = x$ として書き換えます。

$\frac{y - 6}{6} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y - 6 = 6 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 6 x + 6$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ が $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x - 6}{6})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

ステップ 5.2.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x - 6 + 6$

ステップ 5.2.4

$x - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (6 x + 6)$ の値を求めます。

$f (6 x + 6) = \frac{(6 x + 6) - 6}{6}$

ステップ 5.3.3

$(6 x + 6) - 6$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 - 6}{6}$

ステップ 5.3.3.2

$6$ を $6$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 \cdot 1 - 6}{6}$

ステップ 5.3.3.3

$6$ を $6 (x) + 6 (1)$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) - 6}{6}$

ステップ 5.3.3.4

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) + 6 \cdot - 1}{6}$

ステップ 5.3.3.5

$6$ を $6 (x + 1) + 6 (- 1)$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6}$

ステップ 5.3.3.6

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.6.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 (1)}$

ステップ 5.3.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 \cdot 1}$

ステップ 5.3.3.6.3

式を書き換えます。

$f (6 x + 6) = \frac{x + 1 - 1}{1}$

ステップ 5.3.3.6.4

$x + 1 - 1$ を $1$ で割ります。

$f (6 x + 6) = x + 1 - 1$

ステップ 5.3.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (6 x + 6) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (6 x + 6) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ は $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$

微分積分学準備 例

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