微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1 - 3 x^{2}}{x + 1}$

ステップ 1

式 $\frac{1 - 3 x^{2}}{x + 1}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

$1$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- 3 x^{2} + 1}{x + 1}$

ステップ 5.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

+

$1$

-

$3 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

ステップ 5.3

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$3 x$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 5.4

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$3 x$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 5.5

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} - 3 x$ の符号をすべて変更します。

				-	$3 x$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$3 x$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$

ステップ 5.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				-	$3 x$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$	+	$1$

ステップ 5.8

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$3 x$	+	$3$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$	+	$1$

ステップ 5.9

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$3 x$	+	$3$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$	+	$1$
						+	$3 x$	+	$3$

ステップ 5.10

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x + 3$ の符号をすべて変更します。

				-	$3 x$	+	$3$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$	+	$1$
						-	$3 x$	-	$3$

ステップ 5.11

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$3 x$	+	$3$
	$x$	+	$1$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
				+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$3 x$	+	$1$
						-	$3 x$	-	$3$
								-	$2$

ステップ 5.12

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- 3 x + 3 - \frac{2}{x + 1}$

ステップ 5.13

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - 3 x + 3$

$y = - 3 x + 3$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 1$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - 3 x + 3$

ステップ 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$