微分積分学準備例

$\log_{3} (\sqrt{x} + 1) = 1$

ステップ 1

$\log_{3} (\sqrt{x} + 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} + 1 > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{x} > - 1$

ステップ 2.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$x > {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x > 1$

ステップ 2.4

$\sqrt{x} + 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.4.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\sqrt{- 2} + 1 > 0$

ステップ 2.6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.6.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\sqrt{0.5} + 1 > 0$

ステップ 2.6.2.3

左辺 $1.70710678$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{4} + 1 > 0$

ステップ 2.6.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 1$ または $x > 1$

ステップ 3

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0, x \neq 1}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例