微分積分学準備例

f (x, y) = \sqrt{ln (x + y)}

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

ステップ 1

\sqrt{ln (x + y)}

$\sqrt{\ln (x + y)}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を

\sqrt{ln (x + y)} = f (x, y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ として書き換えます。

\sqrt{ln (x + y)} = f (x, y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

ステップ 1.2

f

$f$ に行列の各要素を掛けます。

\sqrt{ln (x + y)} = (f x, f y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

\sqrt{ln (x + y)} = (f x, f y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

{\sqrt{ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{ln (x + y)}

$\sqrt{\ln (x + y)}$ を

{ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

{ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から

${(f x, f y)}^{2}$ を引きます。

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.3

対数の定義を利用して

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に

$1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.3

方程式の両辺から

$\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.5

対数の定義を利用して

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に

$1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.3

方程式の両辺から

$\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.6.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.6.5

対数の定義を利用して

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に

$1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.3

方程式の両辺から

$\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.6.6.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.6.6.5

対数の定義を利用して

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6.6.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.6.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.6.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に

$1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 5

$\ln (x + y)$ の偏角を

$0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x + y > 0$

ステップ 6

不等式の両辺から

$y$ を引きます。

$x > - y$

ステップ 7

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

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