微分積分学準備例

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

ステップ 1

$\sqrt{\ln (x + y)}$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式を $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ として書き換えます。

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

ステップ 1.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\ln (x + y)}$ を ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から ${(f x, f y)}^{2}$ を引きます。

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.3

対数の定義を利用して $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2

左辺を展開します。

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ステップ 4.4.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.3

方程式の両辺から $\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6

$y$ について解きます。

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ステップ 4.4.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2

左辺を展開します。

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ステップ 4.4.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.3

方程式の両辺から $\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.6.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6.6

$y$ について解きます。

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ステップ 4.4.6.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2

左辺を展開します。

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ステップ 4.4.6.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.3

方程式の両辺から $\ln (x + y)$ を引きます。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

ステップ 4.4.6.6.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

ステップ 4.4.6.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

ステップ 4.4.6.6.6

$y$ について解きます。

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ステップ 4.4.6.6.6.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2

左辺を展開します。

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ステップ 4.4.6.6.6.2.1

${(f x, f y)}^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ を展開します。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

ステップ 4.4.6.6.6.2.3

${(f x, f y)}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

ステップ 5

$\ln (x + y)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x + y > 0$

ステップ 6

不等式の両辺から $y$ を引きます。

$x > - y$

ステップ 7

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

微分積分学準備 例

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