微分積分学準備例

$\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{1 - x^{3}} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 - x^{3}}$ を ${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x^{3})}^{1} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

簡約します。

$1 - x^{3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - x^{3} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{3} = - 1$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- x^{3} + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ を $- x^{3} + 1$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- (x^{3}) + 1 = 0$

ステップ 2.3.3.1.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3.3.1.3

$- 1$ を $- (x^{3}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (x^{3} - 1) = 0$

ステップ 2.3.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$- (x^{3} - 1^{3}) = 0$

ステップ 2.3.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.3.3.4

因数分解。

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ステップ 2.3.3.4.1

簡約します。

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ステップ 2.3.3.4.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.3.3.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

ステップ 2.3.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 2.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.3.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.3.6

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.6.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.3.6.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.7

最終解は $- (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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