微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{4}}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1^{2} - x^{4}}$

ステップ 1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x^{2}$ です。

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = \frac{3 {(- x)}^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$f (- x) = \frac{3 {(- x)}^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 - (- x))}$

ステップ 2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = \frac{3 {(- 1)}^{2} x^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = \frac{3 \cdot (1 x^{2})}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.4

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + {(- 1)}^{2} x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + 1 x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.4.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 2.4.4

指数をまとめます。

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ステップ 2.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + 1 x)}$

ステップ 2.4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$\frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)} = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$ なので、関数は偶関数です。

関数は偶関数です。

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例