微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

ステップ 1

$\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.1.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.1.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.1.5

$3 x$ を $3 x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

ステップ 2.1.5.2

$3 x$ を $3 x$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

ステップ 2.1.5.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.6

$x + 1$ を $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1

$x + 1$ を $3 x (x + 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$x + 1$ を $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

ステップ 2.1.7

$- x$ と $3 x$ をたし算します。

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.8

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.1.8.3

多項式を書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

最終解は $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 1}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例