微分積分学準備例

$f (x) = 2 x + 7$ $g (x) = 2 x^{2} - 6 x + 5$ Find: $g (f (x))$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (2 x + 7)$ の値を求めます。

$g (2 x + 7) = 2 {(2 x + 7)}^{2} - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(2 x + 7)}^{2}$ を $(2 x + 7) (2 x + 7)$ に書き換えます。

$g (2 x + 7) = 2 ((2 x + 7) (2 x + 7)) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 7) (2 x + 7)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7)) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7)) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.4

$7$ に $2$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.5

$2$ に $7$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.1.6

$7$ に $7$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.3.2

$14 x$ と $14 x$ をたし算します。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2} + 28 x + 49) - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 7) = 2 (4 x^{2}) + 2 (28 x) + 2 \cdot 49 - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 2 (28 x) + 2 \cdot 49 - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.5.2

$28$ に $2$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 56 x + 2 \cdot 49 - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.5.3

$2$ に $49$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 56 x + 98 - 6 (2 x + 7) + 5$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 56 x + 98 - 6 (2 x) - 6 \cdot 7 + 5$

ステップ 3.7

$2$ に $- 6$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 56 x + 98 - 12 x - 6 \cdot 7 + 5$

ステップ 3.8

$- 6$ に $7$ をかけます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 56 x + 98 - 12 x - 42 + 5$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$56 x$ から $12 x$ を引きます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 44 x + 98 - 42 + 5$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$98$ から $42$ を引きます。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 44 x + 56 + 5$

ステップ 4.2.2

$56$ と $5$ をたし算します。

$g (2 x + 7) = 8 x^{2} + 44 x + 61$

微分積分学準備 例

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