微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

式 $\frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2^{x} + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2^{x} + lim_{x \to - \infty} 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.2

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

ステップ 3.3.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.4

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0 + 5}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

ステップ 3.5

極限を求めます。

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ステップ 3.5.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 5}{0 + 1}$

ステップ 3.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{5}{0 + 1}$

ステップ 3.5.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{1}$

ステップ 3.5.2.3

$5$ を $1$ で割ります。

$5$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 5$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 5$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例