微分積分学準備例

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

ステップ 1

式 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

ステップ 2

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 、 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ としているので、 $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ は垂直漸近線です。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 、 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ としているので、 $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ は垂直漸近線です。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 4

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $1$ 、 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $1$ としているので、 $x = 1$ は垂直漸近線です。

$x = 1$

ステップ 5

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

ステップ 6

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 7

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 5$

$m = 3$

ステップ 8

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 9

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 9.2

被除数 $5 x^{5}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 9.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

ステップ 9.4

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

ステップ 9.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

ステップ 9.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 9.7

被除数 $10 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 9.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

ステップ 9.9

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$ の符号をすべて変更します。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

ステップ 9.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

ステップ 9.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

ステップ 9.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = 5 x^{2} + 10$

ステップ 10

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = 5 x^{2} + 10$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例