微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$

ステップ 1

$\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x^{2} - 3 x - 20 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ を $5$ プラス $- 8$ に書き換える

$2 x^{2} + (5 - 8) x - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $2 x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 5) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$2 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

最終解は $(2 x + 5) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{2}, 4$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$2 {(- 5)}^{2} - 3 \cdot - 5 - 20 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $45$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $- \frac{5}{2} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- \frac{5}{2} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 20 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 20 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $34$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{5}{2}$ または $x \geq 4$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - \frac{5}{2}, x \geq 4}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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