微分積分学準備例

$y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$

ステップ 1

$\sqrt{9 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$9 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $9$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 9$

ステップ 2.2

$- x^{2} \geq - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} \geq - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 9$

ステップ 2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

ステップ 2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{9}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$\sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 3 |$

ステップ 2.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$| x | \leq 3$

ステップ 2.5

$| x | \leq 3$ を区分で書きます。

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ステップ 2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 3$

ステップ 2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 3$

ステップ 2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.6

$x \leq 3$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 3$

ステップ 2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 3$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$- x \leq 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- x \leq 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.3.1

$3$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 3$

ステップ 2.7.2

$x \geq - 3$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 3 \leq x < 0$

ステップ 2.8

解の和集合を求めます。

$- 3 \leq x \leq 3$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $7$ です。

$2, 5$

ステップ 4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) (x + 5) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 4.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 4.5

最終解は $(x + 2) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 5$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 3 \leq x \leq 3, x \neq - 2}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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