微分積分学準備例

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

ステップ 1

$\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{- 1} - 2 > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

ステップ 2.2

不等式の両辺に $2$ を足します。

$\frac{1}{x} > 2$

ステップ 2.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = 2 x$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = 2 x$

ステップ 2.4.1.2

式を書き換えます。

$1 = 2 x$

ステップ 2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $2 x = 1$ として書き換えます。

$2 x = 1$

ステップ 2.5.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

$x^{- 1} - 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.6.1

$x^{- 1}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.6.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $- 2.5$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.2

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.25$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0.25$ で置き換えます。

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.3

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $- 1.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{1}{2}$

ステップ 3

$x^{- 1}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \frac{1}{2})$

集合の内包的記法：

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例