微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{6 + x - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{6 + x - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 + x - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$6 + x - x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を $6 + x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$6$ を移動させます。

$x - x^{2} + 6 = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $- (x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$6 - 4 - {(- 4)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $- 14$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.2

区間 $- 2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$6 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$6 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $- 24$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x \leq 3$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq 3}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例