微分積分学準備例

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

等比数列の公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ を利用し、項数 $n$ を求めます。

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ステップ 2.1

第1項、最終項、および項間の比の値を公式に代入します。

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 2.2

$n$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式を $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ として書き換えます。

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

ステップ 2.2.2

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

ステップ 2.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

ステップ 2.2.2.2

$81$ と $\frac{1}{3^{n - 1}}$ をまとめます。

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

ステップ 2.2.3

両辺に $3^{n - 1}$ を掛けます。

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$3^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4.1.1.2

式を書き換えます。

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

ステップ 2.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$\frac{1}{81}$ と $3^{n - 1}$ をまとめます。

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

ステップ 2.2.5

$n$ について解きます。

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ステップ 2.2.5.1

方程式を $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ として書き換えます。

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $81$ を掛けます。

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

ステップ 2.2.5.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

$81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

ステップ 2.2.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

ステップ 2.2.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.2.1

$81$ に $81$ をかけます。

$3^{n - 1} = 6561$

ステップ 2.2.5.4

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{n - 1} = 3^{8}$

ステップ 2.2.5.5

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$n - 1 = 8$

ステップ 2.2.5.6

$n$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.5.6.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$n = 8 + 1$

ステップ 2.2.5.6.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$n = 9$

ステップ 3

等比数列の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ を利用し、和を求めます。

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ステップ 3.1

第1項、比、および項数の値を和の公式に代入します。

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.3

$3$ を $9$ 乗します。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{19683}{19683}$ を掛けます。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ と $\frac{19683}{19683}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- 1$ に $19683$ をかけます。

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.7.2

$1$ から $19683$ を引きます。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9

指数をまとめます。

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ステップ 3.2.1.9.1

負をくくり出します。

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9.2

$81$ と $\frac{19682}{19683}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.9.3

$81$ に $19682$ をかけます。

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10

$1594242$ と $19683$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.10.1

$81$ を $1594242$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.10.2.1

$81$ を $19683$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

ステップ 3.2.2.4.2

$1$ から $3$ を引きます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 3.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.2.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 3.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$2$ を $19682$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 3.2.5.2

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 3.2.5.3

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

ステップ 3.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$3$ を $243$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

ステップ 3.2.6.2

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

ステップ 3.2.6.3

式を書き換えます。

$S_{n} = \frac{9841}{81}$

微分積分学準備 例

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