微分積分学準備例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ を方程式で書きます。

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ として書き換えます。

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

ステップ 3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

ステップ 3.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

ステップ 3.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.2

簡約します。

$y = {(9 + x)}^{3}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(9 + x)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

二項定理を利用します。

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

$9$ を $3$ 乗します。

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2.3

$3$ に $81$ をかけます。

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2.4

$3$ に $9$ をかけます。

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

ステップ 3.5

$729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$729$ を移動させます。

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

ステップ 3.5.2

$243 x$ を移動させます。

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

ステップ 3.5.3

$27 x^{2}$ と $x^{3}$ を並べ替えます。

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ が $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.2

簡約します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.4

$- 9$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.5

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.6

$81$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.2.7

$- 9$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.3

${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ を $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.4.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1.1

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5.1.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5.1.2

$- 9$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5.1.3

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.5.2

$- 9 x^{\frac{1}{3}}$ から $9 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.7.1

$- 18$ に $27$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.7.2

$27$ に $81$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

ステップ 5.2.3.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

ステップ 5.2.3.9

$243$ に $- 9$ をかけます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$- 27 x^{\frac{2}{3}}$ と $27 x^{\frac{2}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

ステップ 5.2.4.1.2

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

ステップ 5.2.4.1.3

$2187$ から $2187$ を引きます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

ステップ 5.2.4.1.5

$- 729$ と $729$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

ステップ 5.2.4.1.6

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.2

$243 x^{\frac{1}{3}}$ から $486 x^{\frac{1}{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.2.4.3

$x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 243 x^{\frac{1}{3}}$ と $243 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ の値を求めます。

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ は $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

微分積分学準備 例

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