微分積分学準備例

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(1 - x)}^{3}$ です。

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.5

${(1 - x)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.5.2

$6 x^{2} - 8 x + 3$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

${(1 - x)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.2

${(1 - x)}^{3}$ と ${(1 - x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(B) {(1 - x)}^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.2.2.4

$B (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.4

$B$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

ステップ 1.6.6

${(1 - x)}^{3}$ と $1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

$1 - x$ を $(C) {(1 - x)}^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

ステップ 1.6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.2.1

$1$ を掛けます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

ステップ 1.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

ステップ 1.6.6.2.3

式を書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

ステップ 1.6.6.2.4

$C {(1 - x)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

ステップ 1.6.7

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

ステップ 1.6.8

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

ステップ 1.6.8.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

ステップ 1.6.8.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

ステップ 1.6.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

ステップ 1.6.9.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

ステップ 1.6.9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

ステップ 1.6.9.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

ステップ 1.6.9.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1.5.1

$x$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

ステップ 1.6.9.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

ステップ 1.6.9.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

ステップ 1.6.9.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

ステップ 1.6.9.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

ステップ 1.6.10

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

ステップ 1.6.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.11.1

$C$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

ステップ 1.6.11.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

ステップ 1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$B$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

ステップ 1.7.2

$C$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

ステップ 1.7.3

$B$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

ステップ 1.7.4

$A$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

ステップ 1.7.5

$- 2 C x$ を移動させます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

ステップ 1.7.6

$- x B$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$6 = C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 8 = - 1 B - 2 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A + B + C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $C = 6$ として書き換えます。

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

ステップ 3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 8 = - 1 B - 2 C$ の $C$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

ステップ 3.2.3

$3 = A + B + C$ の $C$ のすべての発生を $6$ で置き換えます。

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

ステップ 3.2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

括弧を削除します。

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

ステップ 3.3

$- 8 = - B - 12$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- B - 12 = - 8$ として書き換えます。

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.2.2

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.3

$- B = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- B = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.3.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3 = A + B + 6$ の $B$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.4.2

$3 = A - 4 + 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

括弧を削除します。

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 4$ と $6$ をたし算します。

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.5

$3 = A + 2$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $A + 2 = 3$ として書き換えます。

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.5.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.5.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$A = 1 B = - 4 C = 6$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = - 4, C = 6$

ステップ 4

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例