微分積分学準備例

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等差数列です。この場合、数列の前の項に $2$ を足すと、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ です。

等差数列： $d = 2$

ステップ 2

等差数列の公式 $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ を利用し、項数 $n$ を求めます。

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ステップ 2.1

第1項、最終項、および項間の差の値を公式に代入します。

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

ステップ 2.2

$n$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $1 + 2 (n - 1) = 101$ として書き換えます。

$1 + 2 (n - 1) = 101$

ステップ 2.2.2

$1 + 2 (n - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 n - 2 = 101$

ステップ 2.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 n - 1 = 101$

ステップ 2.2.3

$n$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 n = 101 + 1$

ステップ 2.2.3.2

$101$ と $1$ をたし算します。

$2 n = 102$

ステップ 2.2.4

$2 n = 102$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$2 n = 102$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

ステップ 2.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

ステップ 2.2.4.2.1.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n = \frac{102}{2}$

ステップ 2.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.3.1

$102$ を $2$ で割ります。

$n = 51$

ステップ 3

等差数列の和の公式 $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ を利用し、和を求めます。

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ステップ 3.1

第1項、最終項、および項数の値を和の公式に代入します。

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ と $101$ をたし算します。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

ステップ 3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ を $102$ で因数分解します。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$S_{n} = 51 \cdot 51$

ステップ 3.2.3

$51$ に $51$ をかけます。

$S_{n} = 2601$

微分積分学準備 例

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