微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[4]{x} + 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[4]{y} + 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[4]{y} + 4 = x$ として書き換えます。

$\sqrt[4]{y} + 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\sqrt[4]{y} = x - 4$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{y}$ を $y^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x - 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x - 4)}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} {(- 4)}^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} {(- 4)}^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 16 + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$16$ に $6$ をかけます。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$- 4$ を $3$ 乗します。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 x \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.5

$- 64$ に $4$ をかけます。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + {(- 4)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.6

$- 4$ を $4$ 乗します。

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$ が $f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

${\sqrt[4]{x}}^{4}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.1.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.1.5

簡約します。

ステップ 5.2.3.2.2

${\sqrt[4]{x}}^{3}$ を $\sqrt[4]{x^{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2}{4}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.4.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.4.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 16 + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.6

$16$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.7

指数を足して $4$ に $4^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.7.1

$4^{3}$ を移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[4]{x}) + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.7.2

$4^{3}$ に $4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.7.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[4]{x}) + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3 + 1} \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.7.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{4} \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.8

$4$ を $4$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.2.9

$4$ を $4$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.3

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

${\sqrt[4]{x}}^{3}$ を $\sqrt[4]{x^{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.4

$4$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 16 + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.5

$16$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 48 \sqrt[4]{x} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.4.6

$4$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 48 \sqrt[4]{x} + 64) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 16 (12 \sqrt{x}) - 16 (48 \sqrt[4]{x}) - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

$12$ に $- 16$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 16 (48 \sqrt[4]{x}) - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.6.2

$48$ に $- 16$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.6.3

$- 16$ に $64$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.7

${(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2}$ を $(\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ((\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.8

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.8.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 4) + 4 (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.8.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.8.3

分配則を当てはめます。

ステップ 5.2.3.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.1

$\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.1.1

$\sqrt[4]{x}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.9.1.1.2

$\sqrt[4]{x}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.9.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.3

$4$ を $\sqrt[4]{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 4 \cdot \sqrt[4]{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.1.4

$4$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 16) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.9.2

$4 \sqrt[4]{x}$ と $4 \sqrt[4]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 8 \sqrt[4]{x} + 16) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.10

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 96 (8 \sqrt[4]{x}) + 96 \cdot 16 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.11.1

$8$ に $96$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 96 \cdot 16 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.11.2

$96$ に $16$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

ステップ 5.2.3.12

分配則を当てはめます。

ステップ 5.2.3.13

$- 256$ に $4$ をかけます。

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$16 \sqrt[4]{x^{3}}$ から $16 \sqrt[4]{x^{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 0 + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.1.3

$- 768 \sqrt[4]{x}$ と $768 \sqrt[4]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} + 0 - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.1.5

$256 \sqrt[4]{x}$ から $256 \sqrt[4]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 0 + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.1.6

$x + 96 \sqrt{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.2

$96 \sqrt{x}$ から $192 \sqrt{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 - 96 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.3

$x + 256 - 96 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 96 \sqrt{x}$ と $96 \sqrt{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 + 0 - 1024 + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.3.2

$x + 256$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 - 1024 + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.4

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$256$ から $1024$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x - 768 + 1536 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.4.2

$- 768$ と $1536$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 768 - 1024 + 256$

ステップ 5.2.4.4.3

$768$ から $1024$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x - 256 + 256$

ステップ 5.2.4.5

$x - 256 + 256$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$- 256$ と $256$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 0$

ステップ 5.2.4.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256)$ の値を求めます。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256} + 4$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256} + 4$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (4 x^{3}) + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) - 4 \cdot (4^{3} x) + 4^{4}} + 4$

ステップ 5.3.4.2

2項式の定理を利用して $x^{4} - 4 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot 4^{2} x^{2} - 4 \cdot 4^{3} x + 4^{4}$ を因数分解します。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{{(4 - x)}^{4}} + 4$

ステップ 5.3.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = 4 - x + 4$

ステップ 5.3.5

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = - x + 8$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$ は $f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例