微分積分学準備例

$\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{1 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 1$

ステップ 2.2

$- x^{2} \geq - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} \geq - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 1$

ステップ 2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

ステップ 2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| x | \leq 1$

ステップ 2.5

$| x | \leq 1$ を区分で書きます。

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ステップ 2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 1$

ステップ 2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 1$

ステップ 2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.6

$x \leq 1$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 1$

ステップ 2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 1$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$- x \leq 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- x \leq 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 1$

ステップ 2.7.2

$x \geq - 1$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 1 \leq x < 0$

ステップ 2.8

解の和集合を求めます。

$- 1 \leq x \leq 1$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 1, 0) \cup (0, 1]$

集合の内包的記法：

${x | - 1 \leq x \leq 1, x \neq 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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