微分積分学準備例

$\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ です。

$\frac{(x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

${(x^{2} + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$A ({(x^{2} + 1)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A ({(x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.4.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + A (2 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.6.2

$A$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.7

${(x^{2} + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.7.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.7.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.8

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.9

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.9.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.10

${(x^{2} + 1)}^{2}$ と $x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.10.1

$x^{2} + 1$ を $(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})$ で因数分解します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.6.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.10.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.10.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.10.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (x^{2} + 1))}{1}$

ステップ 1.6.10.2.4

$(D x + F) (x (x^{2} + 1))$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (x^{2} + 1))$

ステップ 1.6.11

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

ステップ 1.6.12

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.12.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.12.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

ステップ 1.6.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{1 + 2} + x \cdot 1)$

ステップ 1.6.12.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x \cdot 1)$

ステップ 1.6.13

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x)$

ステップ 1.6.14

分配法則（FOIL法）を使って $(D x + F) (x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.14.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (x^{3} + x) + F (x^{3} + x)$

ステップ 1.6.14.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (x^{3} + x)$

ステップ 1.6.14.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.15.1

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.15.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15.1.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.15.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15.1.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.15.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D (x \cdot x) + F x^{3} + F x$

ステップ 1.6.15.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

ステップ 1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$A$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

ステップ 1.7.2

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

ステップ 1.7.3

$F$ と $x^{3}$ を並べ替えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

ステップ 1.7.4

$F$ と $x$ を並べ替えます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

ステップ 1.7.5

$A$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x + A$

ステップ 1.7.6

$C x$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + C x + F x + A$

ステップ 1.7.7

$D x^{2}$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + F x^{3} + D x^{2} + C x + F x + A$

ステップ 1.7.8

$B x^{2}$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + 2 x^{2} A + D x^{4} + F x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

ステップ 1.7.9

$2 x^{2} A$ を移動させます。

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A x^{4} + D x^{4} + F x^{3} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{4}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + D$

ステップ 2.2

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = F$

ステップ 2.3

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 2.4

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = C + F$

ステップ 2.5

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 2.6

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + D$

$1 = F$

$1 = 2 A + B + D$

$- 1 = C + F$

$1 = A$

$1 = A + D$

$1 = F$

$1 = 2 A + B + D$

$- 1 = C + F$

$1 = A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $F = 1$ として書き換えます。

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$- 1 = C + F$

$1 = A$

ステップ 3.2

各方程式の $F$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1 = C + F$ の $F$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$- 1 = C + 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$1 = A$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$- 1 = C + 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$1 = A$

$- 1 = C + 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$1 = A$

ステップ 3.2.3

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$- 1 = C + 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$A = 1$

$- 1 = C + 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $C + 1 = - 1$ として書き換えます。

$C + 1 = - 1$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = - 1 - 1$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = A + D$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3.3

$1 = A + D$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$1 = (1) + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

括弧を削除します。

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 A + B + D$

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 A + B + D$

ステップ 3.3.5

$1 = 2 A + B + D$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$1 = 2 (1) + B + D$

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.3.6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$2$ に $1$ をかけます。

$1 = 2 + B + D$

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B + D$

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B + D$

$1 = 1 + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.4

$1 = 1 + D$ の $D$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $1 + D = 1$ として書き換えます。

$1 + D = 1$

$1 = 2 + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.4.2

$D$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$D = 1 - 1$

$1 = 2 + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.4.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$D = 0$

$1 = 2 + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$D = 0$

$1 = 2 + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$D = 0$

$1 = 2 + B + D$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.5

各方程式の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1 = 2 + B + D$ の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = 2 + B + 0$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.5.2

$1 = 2 + B + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

括弧を削除します。

$1 = 2 + B + 0$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B + 0$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$2 + B$ と $0$ をたし算します。

$1 = 2 + B$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$1 = 2 + B$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.6

$1 = 2 + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $2 + B = 1$ として書き換えます。

$2 + B = 1$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.6.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B = 1 - 2$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.6.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$B = - 1$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$B = - 1$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

$B = - 1$

$D = 0$

$C = - 2$

$A = 1$

$F = 1$

ステップ 3.7

連立方程式を解きます。

$B = - 1 D = 0 C = - 2 A = 1 F = 1$

ステップ 3.8

すべての解をまとめます。

$B = - 1, D = 0, C = - 2, A = 1, F = 1$

ステップ 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- x - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.3

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{x} + \frac{- x - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x} + \frac{- x - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例