微分積分学準備例

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

$S_{n}$ の級数の和は $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ の公式を利用して求めます。無限等比級数 $S_{\infty}$ の和は、 $n$ が $\infty$ に近づくと、 $1 - r^{n}$ は $1$ に近づきます。したがって、 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ は $\frac{a}{1 - r}$ に近づきます。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

ステップ 3

$a = 1$ と $r = \frac{1}{3}$ の値は $S_{\infty}$ の方程式に入れることができます。

$S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 4

方程式を簡約し、 $S_{\infty}$ を求めます。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 4.1.3

$3$ から $1$ を引きます。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{\infty} = 1 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.3

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$S_{\infty} = \frac{3}{2}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例