微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x + 2}{\sqrt{x^{2} + x - 12}}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} + x - 12}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + x - 12 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + x - 12 = 0$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 4$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} - 6 - 12 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $- 4 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 4 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 0 - 12 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} + 6 - 12 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $30$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 4$ または $x \geq 3$

ステップ 3

$\frac{2 x + 2}{\sqrt{x^{2} + x - 12}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x^{2} + x - 12} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} + x - 12}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + x - 12}$ を ${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + x - 12)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} + x - 12 = 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} + x - 12 = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 4.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 4.3.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.3.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4.3.5

最終解は $(x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 4$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 4, x > 3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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