微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

ステップ 1

$\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 2.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2.2

$x - \frac{4}{x} \geq 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.2.1

$x - \frac{4}{x} \geq 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

$- \frac{4}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

ステップ 2.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

ステップ 2.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 \geq 0$

ステップ 2.3

不等式を解きます。

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ステップ 2.3.1

不等式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} \geq 4$

ステップ 2.3.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

ステップ 2.3.3

方程式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{4}$

ステップ 2.3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq | 2 |$

ステップ 2.3.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \geq 2$

ステップ 2.3.4

$| x | \geq 2$ を区分で書きます。

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ステップ 2.3.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.3.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq 2$

ステップ 2.3.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.3.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq 2$

ステップ 2.3.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.3.5

$x \geq 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq 2$

ステップ 2.3.6

$- x \geq 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- x \geq 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.3.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.6.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq - 2$

ステップ 2.3.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - 2$ または $x \geq 2$

ステップ 3

$\frac{4}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例